User Tools

Site Tools


m-i-quan-h-nh-ph-n-wikipedia

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

m-i-quan-h-nh-ph-n-wikipedia [2018/11/23 17:13] (current)
Line 1: Line 1:
 +<​HTML>​ <​br><​div>​
 +<p> Trong toán học, một quan hệ nhị phân <b> <b> trên tập hợp <i> A </i> là tập hợp các cặp yếu tố được đặt hàng <i> A </i>. Nói cách khác, nó là một tập con của sản phẩm Descartes <i> A </​i><​sup>​ 2 </​sup>​ = <span class="​nowrap"><​i>​ A </i> × <i> A </​i></​span>​. Nói chung, một mối quan hệ nhị phân giữa hai bộ <i> A </i> và <i> B </i> là một tập con của <span class="​nowrap"><​i>​ A </i> × <i> B </​i></​span>​. Các điều khoản <b> tương ứng </​b><​b>​ quan hệ dyadic </b> và <b> 2-vị trí quan hệ </b> là từ đồng nghĩa cho quan hệ nhị phân.
 +</​p><​p>​ Ví dụ là mối quan hệ &​quot;​chia&​quot;​ giữa tập hợp các số nguyên tố <b> P </b> và tập các số nguyên <b> Z </​b>​trong đó mỗi số <i> p </i> được liên kết với mỗi số nguyên <i> z </i> là bội số của <i> p </i> (nhưng không có số nguyên không phải là bội số của <i> p </​i>​). Trong quan hệ này, ví dụ, số nguyên tố 2 được kết hợp với các số bao gồm −4, 0, 6, 10, nhưng không phải là 1 hoặc 9; và số nguyên tố 3 được liên kết với các số bao gồm 0, 6 và 9, nhưng không phải là 4 hoặc 13.
 +</​p><​p>​ Quan hệ nhị phân được sử dụng trong nhiều ngành toán học để mô hình các khái niệm như &​quot;​lớn hơn&​quot;,​ &​quot;​bằng&​quot;​ và &​quot;​chia&​quot;​ trong số học &quot;, là đồng dư với&​quot;​ trong hình học &quot;, liền kề&​quot;​ trong biểu đồ lý thuyết, &​quot;​là trực giao với&​quot;​ trong đại số tuyến tính và nhiều hơn nữa. Một hàm có thể được định nghĩa là một kiểu quan hệ nhị phân đặc biệt. Mối quan hệ nhị phân cũng được sử dụng rất nhiều trong khoa học máy tính.
 +</​p><​p>​ Quan hệ nhị phân là trường hợp đặc biệt <span class="​nowrap"><​i>​ n </i> = 2 </​span>​ của <i> n </i> quan hệ giữa <i> R </i> ⊆ <i> A </​i><​sub>​ 1 </​sub>​ ×… × <i> A </​i><​sub>​ <i> n </​i></​sub>​có nghĩa là, một tập hợp các <i> n </i> tuples nơi thành phần thứ <i> j </i> của mỗi <i> n </i> -tuple được lấy từ <i> j </i> tên miền thứ <i> A </​i><​sub>​ <i> j </​i></​sub>​ của quan hệ. Một ví dụ cho mối quan hệ thứ ba trên <b> Z </b> × <b> Z </b> × <b> Z </b> là &​quot;​... nằm giữa ... và ...&​quot;,​ có chứa e.g. các bộ ba <span class="​nowrap">​ (5,2,8) </​span><​span class="​nowrap">​ (5,8,2) </​span>​ và <span class="​nowrap">​ (- 4,9, −7) </​span>​.
 +</​p><​p>​ Một mối quan hệ nhị phân trên <i> A </i> × <i> B </i> là một phần tử trong bộ công suất trên <i> A </i> × <i> B </i>. Vì tập hợp sau được sắp xếp theo sự bao gồm (⊂), mỗi quan hệ có một vị trí trong mạng của các tập con của <i> A </i> × <i> B </i>.
 +</​p><​p>​ Trong một số hệ thống lý thuyết tập tiên đề, các mối quan hệ được mở rộng thành các lớp, là các khái quát chung của các bộ. Phần mở rộng này là cần thiết cho, trong số những thứ khác, mô hình hoá các khái niệm &​quot;​là một phần tử&​quot;​ hoặc &​quot;​là một tập hợp con&​quot;​ trong lý thuyết tập hợp, mà không chạy vào những mâu thuẫn logic như nghịch lý của Russell.
 +</p>
  
 +
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Formal_definition">​ Định nghĩa chính thức </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<p> Mối quan hệ nhị phân <b> </b> <i> R </i> giữa các tập tùy ý (hoặc các lớp) <i> X </i> (<b> đặt khởi hành </b>) và <i> Y </i> (<b> đặt tên miền đích </b> hoặc <b> tên miền </b>) được chỉ định bởi <b> biểu đồ </b> <i> G </​i>​là một tập con của sản phẩm Descartes <i> X </i> × <i> Y </i>. Mối quan hệ nhị phân <i> R </i> chính nó thường được xác định với biểu đồ <i> G </​i>​nhưng một số tác giả xác định nó là một lệnh được đặt hàng <span class="​nowrap">​ (<i> X </​i><​i>​ Y </​i><​i>​ G </i>) </​span>​được gọi là <b> tương ứng </b>. <sup id="​cite_ref-1"​ class="​reference">​ [1] </​sup>​ </​p><​p>​ Tuyên bố <span class="​nowrap">​ (<i> x </​i><​i>​ y </i>) ∈ <i> G </​i></​span>​ được đọc &​quot;<​i>​ x </i> <b> là </b> <i> R </​i><​b>​ liên quan đến </b> <i> y </i> &quot;, và được ký hiệu bởi <i> xRy </i> hoặc <span class="​nowrap"><​i>​ R </i> (<i> x </​i><​i>​ y </​i>​). </​span>​ Ký hiệu sau tương ứng với việc xem <i> R </i> là hàm đặc trưng của tập con <i> G </i> của <span class="​nowrap"><​i>​ X </i> × <i> Y </​i></​span>​ tức là [19659003] R </i> (<i> x </​i><​i>​ y </i>) </​span>​ bằng 1 (đúng), nếu <span class="​nowrap">​ (<i> x </​i><​i>​ y </i>) ∈ <i> G </​i></​span>​ và 0 (sai) nếu không.
 +</​p><​p>​ Thứ tự của các phần tử trong mỗi cặp <i> G </i> là quan trọng: nếu <i> một </i> ≠ <i> b </​i>​sau đó <i> aRb </i> và <i> bRa </i> có thể đúng hoặc sai, độc lập với nhau. Tiếp tục ví dụ trên, số nguyên tố 3 chia số nguyên 9, nhưng số 9 không chia 3.
 +</​p><​p>​ Miền <b> </b> của <i> R </i> là tập hợp của tất cả <i> x </i> sao cho <i> xRy </i> cho ít nhất một <i> y </i> ]. Dãy <b> </b> của <i> R </i> là tập hợp của tất cả <i> y </i> sao cho <i> xRy </i> cho ít nhất một <i> x </i>. Trường <b> </b> của <i> R </i> là liên minh của miền của nó và phạm vi của nó. <sup id="​cite_ref-suppes_2-0"​ class="​reference">​[2]</​sup><​sup id="​cite_ref-smullyan_3-0"​ class="​reference">​[3]</​sup><​sup id="​cite_ref-levy_4-0"​ class="​reference">​[4]</​sup></​p>​
 +<​h3><​span id="​Is_a_relation_more_than_its_graph.3F"/><​span class="​mw-headline"​ id="​Is_a_relation_more_than_its_graph?">​ Là một mối quan hệ nhiều hơn đồ thị của nó? </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] [19659036] Phần này <b> có thể chứa các phần gây hiểu lầm </b>. <span class="​hide-when-compact">​ </​span> ​ <​small><​i>​ (tháng 9 năm 2015) </​i></​small></​div></​td></​tr></​tbody></​table><​p>​ Theo định nghĩa trên, hai quan hệ với đồ thị giống hệt nhau nhưng các tên miền khác nhau hoặc các tên miền khác nhau được xem là khác nhau. Ví dụ: nếu <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle G={(1,​2),​(1,​3),​(2,​7)}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ G </​mi><​mo>​ = </​mo><​mo fence="​false"​ stretchy="​false">​ {</​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 1 </​mn><​mo></​mo><​mn>​ 2 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo></​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 1 [19659044]</​mo><​mn>​ 3 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo></​mo><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mn>​ 2 </​mn><​mo></​mo><​mn>​ 7 </​mn><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo fence="​false"​ stretchy="​false">​} </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle G =  {(1 , 2), (1,3), (2,7) }} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​16218c1e3d6775ca8e3021bd339dfe8c19c0e614"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​24.822ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" G =  {(1,2), (1,3), (2,7) } "/></​span>​sau đó [19659063] (</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ Z </​mi></​mrow><​mo></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ Z </​mi></​mrow><​mo></​mo><​mi>​ G </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ( mathbb {Z},  mathbb {Z}, G)} [19659071] ( mathbb {Z},  mathbb {Z}, G) "/></​span><​span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (mathbb {R} ,mathbb {N} ,​G)}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ R </​mi></​mrow><​mo></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ N </​mi></​mrow><​mo></​mo><​mi>​ G </​mi><​mo stretchy="​false">​) [19659060] { displaystyle ( mathbb {R},  mathbb {N}, G)} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​71da9017e26396bbea7943ff24e497ca075184ea"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​9.06ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" ( mathbb {R},  mathbb {N}, G) "/></​span>​ và <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (mathbb {N} ,mathbb {R} ,​G)}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ ] </​mi></​mrow><​mo></​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ R </​mi></​mrow><​mo></​mo><​mi>​ G </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ( mathbb {N},  mathbb {R}, G)} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​6d6372d8750bf9ff8b5e7f8d1f4306f9485bb834"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​9.06ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" ( mathbb {N},  mathbb {R}, G) "/></​span>​ là ba quan hệ riêng biệt, trong đó <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle mathbb {Z} }"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ Z </​mi></​mrow></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle ​ mathbb {Z}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​1.55ex;​ height:​2.176ex;"​ alt=" ​ mathbb {Z} "/></​span>​ là tập hợp các số nguyên, <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle mathbb {R} }"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ R </​mi></​mrow></​mstyle></​mrow>​ { displaystyle ​ mathbb {R}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​1.678ex;​ height:​2.176ex;"​ alt=" ​ mathbb {R} "/></​span>​ là tập hợp các số thực <a href="​http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Real_number"​ title="​Real number">​ và [19659101] N </​mi></​mrow></​mstyle></​mrow>​ { displaystyle ​ mathbb {N}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​fdf9a96b565ea202d0f4322e9195613fb26a9bed"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​1.678ex;​ height:​2.176ex;"​ alt=" ​ mathbb {N} "/></​span>​ là tập hợp các số tự nhiên <a href="​http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Natural_number"​ title="​Natural number">​.
 +</​p><​p>​ Đặc biệt trong lý thuyết tập hợp, quan hệ nhị phân thường được định nghĩa là tập hợp các cặp đặt hàng, xác định các mối quan hệ nhị phân với các đồ thị của chúng. Tên miền của một quan hệ nhị phân <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle R}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ R </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle R} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​1.764ex;​ height:​2.176ex;"​ alt=" R "/></​span>​ sau đó được định nghĩa là tập hợp của tất cả <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle x}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ x </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle x} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​1.33ex;​ height:​1.676ex;"​ alt=" x [19659062] sao cho có ít nhất một <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle y}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ y </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle y} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.671ex; width:​1.155ex;​ height:​2.009ex;"​ alt=" y "/></​span>​ sao cho <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (x,y)in R}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo></​mo><​mi>​ y </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∈ <!-- ∈ --> </​mo><​mi>​ R </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (x, y)  trong R} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​564266a1c3efe90b1974df60a445161fdf58f14e"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​9.933ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" (x, y)  trong R "/></​span>​dải <b> </b> của <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle R}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ R </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle R} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​1.764ex;​ height:​2.176ex;"​ alt=" R "/></​span>​ được định nghĩa là tập hợp tất cả <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle y}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ y </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle y} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.671ex; width:​1.155ex;​ height:​2.009ex;"​ alt=" y "/></​span>​ sao cho tồn tại tại ít nhất một <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle x}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ x </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle x} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​1.33ex;​ height:​1.676ex;"​ alt=" x "/></​span>​ sao cho <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle (x,y)in R}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mo stretchy="​false">​ (</​mo><​mi>​ x </​mi><​mo></​mo><​mi>​ y </​mi><​mo stretchy="​false">​) </​mo><​mo>​ ∈ <!-- ∈ --> </​mo><​mi>​ R </​mi></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle (x, y)  trong R} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​564266a1c3efe90b1974df60a445161fdf58f14e"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.838ex; width:​9.933ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" (x, y)  trong R "/></​span>​ và trường <b> </b> của <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle R}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ R [19659107] { displaystyle R} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.338ex; width:​1.764ex;​ height:​2.176ex;"​ alt=" R "/></​span>​ là un <sup id="​cite_ref-suppes_2-1"​ class="​reference">​ [2] </​sup>​ <sup id="​cite_ref-smullyan_3-1"​ class="​reference">​ [3] </​sup>​ <sup id="​cite_ref-levy_4-1"​ class="​reference">​ [4] </​sup>​ </​p><​p>​ Trường hợp đặc biệt của sự khác biệt này trong quan điểm áp dụng cho khái niệm hàm. Nhiều tác giả nhấn mạnh vào việc phân biệt giữa tên miền của một hàm và phạm vi của nó. Do đó, một &​quot;​quy tắc&​quot;​ đơn lẻ giống như ánh xạ mọi số thực <i> x </i> đến <i> x </​i><​sup>​ 2 </​sup>​có thể dẫn đến các hàm riêng biệt <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle f:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} }"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ f </​mi><​mo>:​ </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ R </​mi></​mrow><​mo stretchy="​false">​ → <!-- → --> </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ R </​mi></​mrow></​mstyle></​mrow>​ { displaystyle f:  mathbb {R}  rightarrow ​ mathbb {R}} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​85e6e186aabef9e51814bbce62e625dc67e825f2"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.671ex; width:​10.186ex;​ height:​2.509ex;"​ alt=" f:  mathbb {R}  rightarrow ​ mathbb {R} [19659062] và <span class="​mwe-math-element"><​span class="​mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y"​ style="​display:​ none;"><​math xmlns="​http://​www.w3.org/​1998/​Math/​MathML"​ alttext="​{displaystyle f:mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ^{+}}"><​semantics><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mstyle displaystyle="​true"​ scriptlevel="​0"><​mi>​ f </​mi><​mo>:​ </​mo><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ R </​mi></​mrow><​mo stretchy="​false">​ → <!-- → --></​mo><​msup><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mi mathvariant="​double-struck">​ R </​mi></​mrow><​mrow class="​MJX-TeXAtom-ORD"><​mo>​ + </​mo></​mrow></​msup></​mstyle></​mrow><​annotation encoding="​application/​x-tex">​ { displaystyle f:  mathbb {R}  rightarrow ​ mathbb {R} ^ {+ }} </​annotation></​semantics></​math></​span><​img src="​https://​wikimedia.org/​api/​rest_v1/​media/​math/​render/​svg/​a7a3ec9f48308b02ceb9552b6ca440e3e183adb0"​ class="​mwe-math-fallback-image-inline"​ aria-hidden="​true"​ style="​vertical-align:​ -0.671ex; width:​11.697ex;​ height:​2.843ex;"​ alt=" f:  mathbb {R}  rightarrow ​ mathbb {R} ^ {+} "/></​span>​tùy thuộc vào việc các hình ảnh theo quy tắc đó được hiểu là có thật hay không, thực tế không tiêu cực. Nhưng những người khác xem các chức năng đơn giản chỉ là tập các cặp đặt hàng với các thành phần đầu tiên duy nhất. Sự khác biệt trong quan điểm này làm tăng một số vấn đề không quan trọng. Ví dụ, trại cũ xem xét <a href="​http://​en.wikipedia.org/​wiki/​Surjection"​ class="​mw-redirect"​ title="​Surjection">​ tính từ - hoặc trở thành — như là một tài sản của các chức năng, trong khi trại thứ hai coi nó như là một mối quan hệ mà các chức năng có thể mang đến các bộ.
 +</​p><​p>​ Hoặc cách tiếp cận là thích hợp cho hầu hết các công dụng, với điều kiện là người ta tham dự các thay đổi cần thiết về ngôn ngữ, ký hiệu và định nghĩa của các khái niệm như hạn chế, thành phần, quan hệ trò chuyện, v.v. Sự lựa chọn giữa hai định nghĩa thường chỉ quan trọng trong các ngữ cảnh rất chính thức, như lý thuyết thể loại.
 +</p>
 +<​h3><​span class="​mw-headline"​ id="​Example">​ Ví dụ </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h3>​
 +<table class="​wikitable"​ style="​float:​ right; margin-left:​1em;​ text-align:​center;"><​caption>​ Mối quan hệ ví dụ thứ 2
 +</​caption>​
 +<​tbody><​tr><​th>​
 +</th>
 +<th scope="​col">​ bi
 +</th>
 +<th scope="​col">​ ô tô
 +Búp bê </th>
 +<th scope="​col">​
 +Súng </th>
 +<th scope="​col">​
 +</​th></​tr><​tr><​th scope="​row">​ John
 +</th>
 +<​td><​b>​ + </​b></​td>​
 +<td> - </td>
 +<td> - </td>
 +<td> -
 +</​td></​tr><​tr><​th scope="​row">​ Mary
 +</th>
 +<td> - </td>
 +<td> - </td>
 +<td> <b> + </​b></​td>​
 +<td> -
 +</​td></​tr><​tr><​th scope="​row">​ Sao Kim
 +</th>
 +<td> - </td>
 +<td> <b> + </​b></​td>​
 +<td> - </td>
 +<td> -
 +</​td></​tr></​tbody></​table><​table class="​wikitable"​ style="​float:​ right; margin-left:​1em;​ text-align:​center;"><​caption>​ Mối quan hệ ví dụ thứ nhất
 +</​caption>​
 +<​tbody><​tr><​th>​
 +</th>
 +<th scope="​col">​ bi
 +</th>
 +<th scope="​col">​ ô tô
 +Búp bê </th>
 +<th scope="​col">​
 +Súng </th>
 +<th scope="​col">​
 +</​th></​tr><​tr><​th scope="​row">​ John
 +</th>
 +<​td><​b>​ + </​b></​td>​
 +<td> - </td>
 +<td> - </td>
 +<td> -
 +</​td></​tr><​tr><​th scope="​row">​ Mary
 +</th>
 +<td> - </td>
 +<td> - </td>
 +<td> <b> + </​b></​td>​
 +<td> -
 +</​td></​tr><​tr><​th scope="​row">​ Ian
 +</th>
 +<td> - </td>
 +<td> - </td>
 +<td> - </td>
 +<td> -
 +</​td></​tr><​tr><​th scope="​row">​ Sao Kim
 +</th>
 +<td> - </td>
 +<td> <b> + </​b></​td>​
 +<td> - </td>
 +<td> -
 +</​td></​tr></​tbody></​table><​p>​ Ví dụ: Giả sử có bốn đối tượng {ball, car, doll, gun} và bốn người {John, Mary, Ian, Venus}. Giả sử John sở hữu quả bóng, Mary sở hữu con búp bê, và Venus sở hữu chiếc xe. Không ai sở hữu khẩu súng và Ian không sở hữu gì cả. Sau đó, quan hệ nhị phân &​quot;​được sở hữu bởi&​quot;​ được cho là
 +</p>
 +<​dl><​dd><​i>​ R </i> = ({banh, ô tô, búp bê, súng}, {John, Mary, Ian, Venus}, {(bóng, John), (búp bê, Mary), (xe hơi, sao Kim)}). </​dd></​dl><​p>​ Vì vậy, phần tử đầu tiên của R là tập hợp các đối tượng, phần tử thứ hai là tập hợp những người, và phần tử cuối cùng là một tập các cặp được sắp xếp của biểu mẫu (đối tượng, chủ sở hữu).
 +</​p><​p>​ Cặp (bóng, John), ký hiệu là <sub> bóng </​sub><​i>​ R </​i><​sub>​ John </​sub>​ có nghĩa là quả bóng thuộc sở hữu của John.
 +</​p><​p>​ Hai quan hệ khác nhau có thể có cùng một đồ thị. Ví dụ: mối quan hệ
 +</p>
 +<​dl><​dd>​ ({banh, ô tô, búp bê, súng}, {John, Mary, Venus}, {(bóng, John), (búp bê, Mary), (ô tô, sao Kim)}) </​dd></​dl><​p>​ khác so với trước một như tất cả mọi người là một chủ sở hữu. Nhưng đồ thị của hai quan hệ là như nhau.
 +</​p><​p>​ Tuy nhiên, <i> R </i> thường được xác định hoặc thậm chí được định nghĩa là G (<i> R </i>) và &​quot;​một cặp đặt hàng (<i> x </​i><​i>​ y </i> ) ∈ G (<i> R </i>) &​quot;​thường được ký hiệu là&​quot;​ (<i> x </​i><​i>​ y </i>) ∈ <i> R </i> &quot;. <sup id="​cite_ref-5"​ class="​reference">​[5]</​sup></​p>​
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Special_types_of_binary_relations">​ Các loại đặc biệt quan hệ nhị phân </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<div class="​thumb tright"><​div class="​thumbinner"​ style="​width:​222px;"><​img alt=""​ src="​http://​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​b/​b0/​Graph_of_non-injective%2C_non-surjective_function_%28red%29_and_of_bijective_function_%28green%29.gif/​220px-Graph_of_non-injective%2C_non-surjective_function_%28red%29_and_of_bijective_function_%28green%29.gif"​ width="​220"​ height="​263"​ class="​thumbimage"​ srcset="//​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​b/​b0/​Graph_of_non-injective%2C_non-surjective_function_%28red%29_and_of_bijective_function_%28green%29.gif/​330px-Graph_of_non-injective%2C_non-surjective_function_%28red%29_and_of_bijective_function_%28green%29.gif 1.5x, //​upload.wikimedia.org/​wikipedia/​commons/​thumb/​b/​b0/​Graph_of_non-injective%2C_non-surjective_function_%28red%29_and_of_bijective_function_%28green%29.gif/​440px-Graph_of_non-injective%2C_non-surjective_function_%28red%29_and_of_bijective_function_%28green%29.gif 2x" data-file-width="​806"​ data-file-height="​963"/> ​ <div class="​thumbcaption">​ Ví dụ về mối quan hệ giữa các số thực. <b> Màu đỏ: </b> y = x <sup> 2 </​sup>​. <b> Màu xanh lá cây: </b> y = 2x + 20. </​div></​div></​div>​
 +<p> Một số loại quan hệ nhị phân <i> R </i> giữa hai bộ <i> X </i> và <i> Y </i> được liệt kê phía dưới. Để nhấn mạnh rằng <i> X </i> và <i> Y </i> có thể là các bộ khác nhau, một số tác giả gọi những mối quan hệ không đồng nhất này <sup id="​cite_ref-FloudasPardalos2008_6-0"​ class="​reference">​ [6] </​sup>​ <sup id="​cite_ref-Winter2007_7-0"​ class="​reference">​ [7] </​sup>​ [19659007] Tính chất duy nhất:
 +</p>
 +<​ul><​li><​b>​ tiêm </b> (còn gọi là <b> trái duy nhất </​b><​sup id="​cite_ref-kkm_8-0"​ class="​reference">​[8]</​sup>​):​ cho tất cả <i> x </i> và <i> z </i> trong <i> X </i> và <i> y </i> trong <i> Y </i> nó giữ rằng nếu <i> xRy </i> và <i> zRy </i> thì <i> x </i> = <i> z </i>. Ví dụ, quan hệ màu xanh lá cây trong biểu đồ là tiêm, nhưng mối quan hệ màu đỏ không phải là, vì nó liên quan, ví dụ: cả <i> x </i> = −5 và <i> z </i> = +5 đến <i> y </i> = 25. </li>
 +<​li><​b>​ chức năng </b> (còn gọi là <span id="​univalent"/><​b>​ univalent </​b><​sup id="​cite_ref-gs_9-0"​ class="​reference">​[9]</​sup> ​ hoặc <b> phải duy nhất </​b><​sup id="​cite_ref-kkm_8-1"​ class="​reference">​[8]</​sup> ​ hoặc <b> đúng xác định </​b><​sup id="​cite_ref-10"​ class="​reference">​[10]</​sup>​):​ cho tất cả <i> x </i> trong <i> X </i> và <i> y </i> và <i> z </i> trong <i> Y </i> nó giữ rằng nếu <i> xRy </i> và <i> xRz </i> thì <i> y </i> = <i> z </i>; mối quan hệ nhị phân như vậy được gọi là <b> một phần chức năng </b>. Cả hai quan hệ trong ảnh đều có chức năng. Ví dụ về quan hệ phi chức năng có thể thu được bằng cách xoay biểu đồ màu đỏ theo chiều kim đồng hồ 90 độ, tức là bằng cách xem xét mối quan hệ x = y <sup> 2 </​sup>​ liên quan đến ví dụ: <i> x </i> = 25 cho cả <i> y </i> = - 5 và <i> z </i> = + 5. </li>
 +<​li><​b>​ một đối một </b> (cũng viết <b> 1-to-1 </​b>​):​ tiêm và chức năng. </​li></​ul><​p>​ Các thuộc tính tổng thể (chỉ có thể xác định được nếu các tập hợp khởi hành <i> X </i> đích đến <i> Y </i> được chỉ định):
 +</p>
 +<​ul><​li><​b>​ <span id="​left-total">​ bên trái </​span></​b>:​ <sup id="​cite_ref-kkm_8-2"​ class="​reference">​[8]</​sup> ​ cho tất cả <i> x </i> trong <i> X </i> có <i> y </i> trong <i> Y </i> ] <i> xRy </i>. Ví dụ, <i> R </i> là tổng số trái khi nó là hàm hoặc hàm đa giá trị. Lưu ý rằng thuộc tính này, mặc dù đôi khi còn được gọi là <i> tổng số </​i>​khác với định nghĩa của <i> tổng số </i> trong phần tiếp theo. Cả hai quan hệ trong bức tranh đều là tổng số trái. Mối quan hệ <i> x </i> = <i> y </​i><​sup>​ 2 </​sup>​thu được từ vòng quay trên, không phải là tổng số trái, vì nó không liên quan, ví dụ <i> x </i> = −14 cho bất kỳ số thực nào <i> y </i>. </li>
 +<​li><​b>​ tính từ </b> (còn gọi là <b> bên phải </​b><​sup id="​cite_ref-kkm_8-3"​ class="​reference">​[8]</​sup> ​ hoặc <b> lên </​b>​):​ cho tất cả <i> y </i> trong <i> Y </i> có tồn tại một <i> x </i> trong <i> X </i> sao cho <i> xRy </i>. Quan hệ màu xanh lá cây là tính từ, nhưng mối quan hệ màu đỏ không phải là vì nó không liên quan đến bất kỳ số thực nào <i> x </​i>​ví dụ: <i> y </i> = −14. </​li></​ul><​p>​ Tính chất duy nhất và toàn bộ:
 +</p>
 +<​ul><​li>​ Chức năng <b> </b>: một quan hệ có chức năng và tổng số trái. </li>
 +<li> Một chức năng tiêm <b> </b> hoặc <b> </b>: một mối quan hệ được tiêm, chức năng và tổng số trái. </li>
 +<li> A <b> tính từ </b> hoặc <b> từ chối </b>: một mối quan hệ có chức năng, tổng số trái và tổng phải. </li>
 +<li> Một <b> bijection </b>: một tính từ một đối một hoặc chức năng tiêm từ tính được cho là <b> tính từ </​b>​còn được gọi là <b> tương ứng một-một-một </b>. <sup id="​cite_ref-11"​ class="​reference">​[11]</​sup> ​ Quan hệ màu xanh lá cây là bijective, nhưng màu đỏ thì không. </​li></​ul><​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Relations_over_a_set">​ trên một tập hợp </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<p> Nếu <i> X </i> = <i> Y </i> thì chúng ta đơn giản nói rằng quan hệ nhị phân đã qua <i> X </​i>​hoặc đó là một <b> endorelation </b> trên <i> X </i>. <sup id="​cite_ref-Müller2012_12-0"​ class="​reference">​[12]</​sup> ​ Trong khoa học máy tính, mối quan hệ như vậy cũng được gọi là một <b> đồng nhất </b> (nhị phân) mối quan hệ. [19659261] Một số loại endorelations được nghiên cứu rộng rãi trong lý thuyết đồ thị, nơi chúng được gọi là các đồ thị có hướng đơn giản cho phép các vòng lặp.
 +</​p><​p>​ Tập hợp tất cả các quan hệ nhị phân <​i><​b>​ Rel </​b></​i>​ (<i> X </i>) trên tập hợp <i> X </i> là tập 2 <​sup><​i>​ X </i> × <i> X </​i></​sup> ​ là một đại số Boolean được tăng cường với sự giải mã ánh xạ của một quan hệ với quan hệ nghịch đảo của nó. Đối với giải thích lý thuyết, hãy xem Danh mục các mối quan hệ.
 +</​p><​p>​ Một số thuộc tính quan trọng mà một mối quan hệ nhị phân <i> R </i> trên một tập hợp <i> X </i> có thể là:
 +</p>
 +<​ul><​li><​b>​ reflexive </b>: cho tất cả <i> x </i> trong <i> X </i> nó giữ rằng <i> xRx </i>. Ví dụ, &​quot;​lớn hơn hoặc bằng&​quot;​ (≥) là một quan hệ phản xạ nhưng &​quot;​lớn hơn&​quot;​ (&gt;) là không. </li>
 +<​li><​b>​ irreflexive </b> (hoặc <b> strict </​b>​):​ cho tất cả <i> x </i> trong <i> X </i> nó giữ rằng <b> không </b> <i> xRx </i>. Ví dụ,&​gt;​ là một mối quan hệ không phản xạ, nhưng ≥ không phải là </li>
 +<​li><​b>​ mối quan hệ lõi </b>: cho tất cả <i> x </i> và <i> y </i> trong <i> X </i> nếu <i> xRy </i> thì <i> x </i> = <i> y </i>. <sup id="​cite_ref-14"​ class="​reference">​[14]</​sup> ​  Ví dụ về mối quan hệ lõi là quan hệ về số nguyên trong đó mỗi số lẻ có liên quan đến chính nó và không có mối quan hệ nào khác. Mối quan hệ bình đẳng là ví dụ duy nhất của cả hai quan hệ phản xạ và lõi, và bất kỳ quan hệ lõi nào là một tập hợp con của quan hệ nhận dạng </li>
 +<​li><​b>​ gần như phản xạ </b>: cho tất cả <i> x </​i><​i>​ y </i> trong <i> X </​i>​nếu <i> xRy </​i>​sau đó <i> xRx </i> và <i> yRy </i>. </​li></​ul><​dl><​dd><​dl><​dd>​ 4 lựa chọn thay thế trước đây đang ở xa đầy đủ; ví dụ. quan hệ màu đỏ <i> y </i> = <i> x </​i><​sup>​ 2 </​sup>​ từ hình trên không phải là không phản xạ, cũng không phản xạ, cũng không phản xạ vì nó chứa cặp (0,0) và (2) , 4), nhưng không (2,2), tương ứng. </​dd></​dl></​dd></​dl><​ul><​li><​b>​ đối xứng </b>: cho tất cả <i> x </i> và <i> y </i> trong <i> X </i> nó giữ rằng nếu <i> xRy </i> sau đó <i> yRx </i>. &​quot;​Là một tương đối máu của&​quot;​ là một mối quan hệ đối xứng, bởi vì <i> x </i> là một tương đối máu của <i> y </i> nếu và chỉ khi <i> y </i> là một người thân máu của <i> x </i>. </li>
 +<​li><​b>​ đối xứng </b>: cho tất cả <i> x </i> và <i> y </i> trong <i> X </​i>​nếu <i> xRy </i> và <i> yRx </i> rồi <i> x </i> = <i> y </i>. Ví dụ, ≥ là đối xứng; (19459126] [15] </​sup>​ </li>
 +<​li><​b>​ bất đối xứng </b>: cho tất cả <i> x </i> và <i> y </i> trong <i> X </​i>​nếu <i> xRy </i> thì <b> không phải </b> <i> yRx </i>. Một mối quan hệ là bất đối xứng khi và chỉ khi nó vừa chống đối xứng vừa không phản xạ. <sup id="​cite_ref-16"​ class="​reference">​[16]</​sup> ​ Ví dụ,&​gt;​ là bất đối xứng, nhưng ≥ thì không. </​li></​ul><​dl><​dd><​dl><​dd>​ Một lần nữa, 3 lựa chọn thay thế trước đây còn chưa đầy đủ; như một ví dụ về các số tự nhiên, mối quan hệ <i> xRy </i> được xác định bởi <i> x </​i>&​gt;​ 2 không đối xứng hoặc không đối xứng, hãy để một mình bất đối xứng </​dd></​dl></​dd></​dl><​ul><​li><​b>​ transitive </b>: cho tất cả <i> x </​i><​i>​ y </i> và <i> z </i> trong <i> X </i> nó giữ rằng nếu <i> xRy </i> và <i> yRz </i> thì <i> xRz </i>. Ví dụ, &​quot;​là tổ tiên của&​quot;​ là transitive, trong khi &​quot;​là cha mẹ của&​quot;​ là không. <sup id="​cite_ref-17"​ class="​reference">​ [17] </​sup>​ </li>
 +<​li><​b>​ connex </b>: cho tất cả <i> x </i> và <i> y </i> trong <i> X </i> nó giữ <i> xRy </i> hoặc <i> yRx </i> (hoặc cả hai). Thuộc tính này đôi khi được gọi là &​quot;​tổng&​quot;,​ khác biệt với các định nghĩa của &​quot;​tổng&​quot;​ được đưa ra trong phần trước. </li>
 +<​li><​b>​ trichotomous </b>: cho tất cả <i> x </i> và <i> y </i> trong <i> X </i> chính xác là một trong <i> xRy </​i><​i>​ yRx </i> hoặc <i> x </i> = <i> y </i> giữ. Ví dụ,&​gt;​ là một mối quan hệ ba chiều, trong khi quan hệ &​quot;​chia&​quot;​ trên số tự nhiên không phải là. <sup id="​cite_ref-18"​ class="​reference">​ [18] </​sup>​ </li>
 +<​li><​b>​ right Euclidean </b> (hoặc chỉ <b> Euclidean </​b>​):​ cho tất cả <i> x </​i><​i>​ y </i> và <i> z </i> trong <i> X </​i>​nếu <i> xRy </i> và <i> xRz </i> , sau đó <i> yRz </i>. Ví dụ, bình đẳng là một mối quan hệ Euclide vì nếu <i> x </i> = <i> y </i> và <i> x </i> = <i> z </​i>​sau đó <i> y </i> = <i> z </i>. </li>
 +<​li><​b>​ còn lại Euclide </b>: cho tất cả <i> x </​i><​i>​ y </i> và <i> z </i> trong <i> X </​i>​nếu <i> yRx </i> và <i> zRx </​i>​sau đó <i> yRz </i>. </li>
 +<​li><​b>​ nối tiếp </b>: cho tất cả <i> x </i> trong <i> X </​i>​tồn tại <i> y </i> trong <i> X </i> sao cho <i> xRy </i>. &​quot;<​i>​ Lớn hơn </​i>&​quot;​ là một mối quan hệ nối tiếp trên các số nguyên. Nhưng nó không phải là một mối quan hệ nối tiếp trên các số nguyên dương, bởi vì không có <i> y </i> trong các số nguyên dương sao cho 1&gt; <i> y </i>. <sup id="​cite_ref-19"​ class="​reference">​[19]</​sup> ​ Tuy nhiên, &​quot;<​i>​ ít hơn hơn </i> &​quot;​là một mối quan hệ nối tiếp về các số nguyên dương, số hữu tỷ và số thực. Mỗi quan hệ phản xạ là nối tiếp: cho một <i> x </​i>​chọn <i> y </i> = <i> x </i>. </li>
 +<​li><​b>​ giống như </b> (hoặc <b> địa phương </​b>​):​ cho mỗi <i> x </i> trong <i> X </​i>​lớp của tất cả <i> y </i> sao cho <i> yRx </i> là một tập hợp. (Điều này có ý nghĩa chỉ khi quan hệ trên các lớp thích hợp được cho phép.) Thứ tự thông thường < on the class of ordinal numbers is set-like, while its inverse > là không. </li>
 +<​li><​b>​ cũng được thành lập </b>: mỗi tập con nonempty <i> S </i> của <i> X </i> chứa một phần tử tối thiểu liên quan đến <i> R </i>. Sự thành lập rõ ràng ngụ ý điều kiện chuỗi giảm dần (nghĩa là, không có chuỗi vô hạn ... <i> x </​i><​sub>​ <i> n </​i></​sub>​ <i> R </i> ... <i> R </i> <i> x </​i><​sub>​ 3 </​sub><​i>​ R </i> <i> x </​i><​sub>​ 2 </​sub><​i>​ R </i> <i> x </​i><​sub>​ 1 </​sub>​ có thể tồn tại). Nếu tiên đề của sự lựa chọn được giả định, cả hai điều kiện là tương đương. </​li></​ul><​p>​ Một quan hệ phản xạ, đối xứng và transitive được gọi là quan hệ tương đương. Một quan hệ đối xứng, chuyển tiếp và nối tiếp cũng phản xạ. Một quan hệ chỉ đối xứng và chuyển tiếp (không nhất thiết là phản xạ) được gọi là quan hệ tương đương một phần.
 +</​p><​p>​ Một mối quan hệ phản xạ, không đối xứng và chuyển tiếp được gọi là một phần trật tự. Một đơn đặt hàng một phần tổng (theo nghĩa của connex) được gọi là tổng số thứ tự, <i> thứ tự đơn giản </​i>​thứ tự tuyến tính hoặc chuỗi. <sup id="​cite_ref-20"​ class="​reference">​[20]</​sup> ​ Thứ tự tuyến tính trong đó mỗi tập con nonempty có phần tử nhỏ nhất là được gọi là trật tự tốt.
 +</p>
 +<​dl><​dd/></​dl><​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Particular_binary_relations">​ Quan hệ nhị phân đặc biệt </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<p> Một số quan hệ nhị phân cụ thể quan trọng trên một tập hợp nhất định <i> X </i> là:
 +</p>
 +<​ul><​li>​ mối quan hệ <b> trống </b> <i> E </i> = ∅ ⊆ <i> X </i> × <i> X </​i></​li>​
 +<li> quan hệ <b> phổ quát </b> <i> U </i> = <i> X </i> × <i> X </i> và </li>
 +<li> quan hệ danh tính <b> </b> <i> I </i> = {(<i> x </​i><​i>​ x </​i>​):​ <i> x </i> ∈ <i> X </​i>​}. </​li></​ul><​p>​ Đối với các phần tử tùy ý <i> x </​i><​i>​ y </i> của <i> X </i>,
 +</p>
 +<​ul><​li>​ <i> xEy </i> giữ không bao giờ, </li>
 +<li> <i> xUy </i> giữ luôn, và </li>
 +<li> <i> xIy </i> giữ nếu, và chỉ khi, <i> x </i> = <i> y </i>. </​li></​ul><​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Operations_on_binary_relations">​ Hoạt động trên quan hệ nhị phân </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h2>​
 +<p> Nếu <i> R </​i><​i>​ S </i> là nhị phân quan hệ trên <i> X </i> và <i> Y </​i>​thì mỗi sau đây là một quan hệ nhị phân trên <i> X </i> và <i> Y </i>:
 +</p>
 +<​ul><​li><​b>​ Liên minh </b>: <i> R </i> ∪ <i> S </i> ⊆ <i> X </i> × <i> Y </​i>​được định nghĩa là <i> R </i> ∪ <i> S </i> = {(<i> x </​i><​i>​ y </i>) | (<i> x </​i><​i>​ y </i>) ∈ <i> R </i> hoặc (<i> x </​i><​i>​ y </i>) ∈ <i> S </i> ]}. Ví dụ, ≥ là liên kết của&​gt;​ và =. </li>
 +<​li><​b>​ Giao lộ </b>: <i> R </i> ∩ <i> S </i> ⊆ <i> X </i> × <i> Y </​i>​được định nghĩa là <i> R </i> ∩ <i> S </i> = {(<i> x </​i><​i>​ y </i>) | (<i> x </​i><​i>​ y </i>) ∈ <i> R </i> và (<i> x </​i><​i>​ y </i>) ∈ <i> S </i> ] </​li></​ul><​p>​ Nếu <i> R </i> là một quan hệ nhị phân trên <i> X </i> và <i> Y </i> và <i> S </i> là một quan hệ nhị phân trên <i> Y </i> và <i> Z </​i>​sau đó là quan hệ nhị phân trên <i> X </i> và <i> Z </i>: (xem bài viết chính <i> thành phần quan hệ </i> ])
 +</p>
 +<​ul><​li><​b>​ Thành phần </b>: <i> S </i> ∘ <i> R </​i>​cũng được biểu thị <i> R </i> <b>; </b> <i> S </i> (hoặc <i> R </i> ∘ <i> S </​i>​),​ được định nghĩa là <i> S </i> ∘ <i> R </i> = {(<i> x </​i><​i>​ z </i>) | có <i> y </i> ∈ <i> Y </​i>​như vậy (<i> x </​i><​i>​ y </i>) ∈ <i> R </i> và (<i> y </​i><​i>​ z </i>) ∈ <i> S </​i>​}. Thứ tự của <i> R </i> và <i> S </i> theo ký hiệu <i> S </i> ∘ <i> R </​i>​được sử dụng ở đây đồng ý với thứ tự tiêu chuẩn hợp lý cho thành phần của hàm. Ví dụ, thành phần &​quot;​là mẹ của&​quot;​ ∘ &​quot;​là cha mẹ của&​quot;​ sản lượng &​quot;​là ông bà của mẹ&​quot;,​ trong khi bố cục &​quot;​là bậc cha mẹ của&​quot;​ ∘ &​quot;​là mẹ của&​quot;​ sản lượng &​quot;​là bà của&​quot;​. </​li></​ul><​p>​ Một mối quan hệ <i> R </i> trên bộ <i> X </i> và <i> Y </i> được cho là <b> chứa </b> trong một mối quan hệ <i> S </i> trên <i> X </i> và <i> Y </i> nếu <i> R </i> là một tập con của <i> S </​i>​nghĩa là, nếu <i> x </i> <i> R </i> <i> y </i> luôn luôn ngụ ý <i> x </i> <i> S </i> <i> y </i>. Trong trường hợp này, nếu <i> R </i> và <i> S </i> không đồng ý, <i> R </i> cũng được cho là <b> nhỏ hơn </b> so với <i> S </i>. Ví dụ,&​gt;​ được chứa trong ≥.
 +</​p><​p>​ Nếu <i> R </i> là một quan hệ nhị phân trên <i> X </i> và <i> Y </​i>​thì sau đây là quan hệ nhị phân trên <i> Y </i> và <i> X </i>:
 +</p>
 +<​ul><​li><​b>​ Trò chuyện </b>: <i> R </i> <sup> T </​sup>​được định nghĩa là <i> R </i> <sup> T </​sup>​ = {(<i> y </​i><​i>​ x </i>) | (<i> x </​i><​i>​ y </i>) ∈ <i> R </​i>​}. Một mối quan hệ nhị phân trên một tập hợp bằng với trò chuyện của nó nếu và chỉ khi nó là đối xứng. Xem thêm tính hai mặt (lý thuyết đơn hàng). Ví dụ, &​quot;​nhỏ hơn&​quot;​ (<) is the converse of "is greater than" (>). </​li></​ul><​p>​ Nếu <i> R </i> là một quan hệ nhị phân trên <i> X </​i>​thì mỗi sau đây là một quan hệ nhị phân trên <i> X </i>:
 +</p>
 +<​ul><​li><​b>​ Đóng cửa phản xạ </b>: <i> R </i> <sup> = </​sup>​được định nghĩa là <i> R </i> <sup> = </​sup>​ = {(<i> x </i> , <i> x </i>) | <i> x </i> ∈ <i> X </i>} ∪ <i> R </i> hoặc quan hệ phản xạ nhỏ nhất trên <i> X </i> chứa <i> R </i>. Điều này có thể được chứng minh bằng với giao điểm của tất cả các quan hệ phản xạ chứa <i> R </i>. </li>
 +<​li><​b>​ Giảm phản xạ </b>: <i> R </i> <sup> ≠ </​sup>​được định nghĩa là <i> R </i> <sup> ≠ </​sup>​ = <i> R </​i> ​ {(<i> x </​i><​i>​ x </i>) | <i> x </i> ∈ <i> X </i>} hoặc quan hệ không phản xạ lớn nhất trên <i> X </i> chứa trong <i> R </i>. </li>
 +<​li><​b>​ Đóng cửa chuyển tiếp </b>: <i> R </i> <sup> + </​sup>​được định nghĩa là quan hệ transitive nhỏ nhất trên <i> X </i> chứa <i> R </i>. Điều này có thể được xem bằng với giao điểm của tất cả các quan hệ chuyển tiếp chứa <i> R </i>. </li>
 +<​li><​b>​ Đóng cửa chuyển tiếp phản xạ </b>: <i> R </i> *, được định nghĩa là <i> R </i> * = (<i> R </i> <sup> + </​sup>​) <sup> + </​sup>​đơn đặt hàng nhỏ nhất có chứa <i> R </i>. </li>
 +<​li><​b>​ Đóng đối xứng phản xạ chuyển tiếp </b>: <i> R </i> <sup> ≡ </​sup>​được định nghĩa là mối tương quan nhỏ nhất so với <i> X </i> chứa <i> R </i>. </​li></​ul><​h3><​span class="​mw-headline"​ id="​Complement">​ Bổ sung </​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​ [</​span>​ chỉnh sửa <span class="​mw-editsection-bracket">​] </​span></​span></​h3>​
 +<p> Nếu <i> R </i> là một quan hệ nhị phân trên <i> X </i> và <i> Y </​i>​thì sau đây cũng vậy:
 +</p>
 +<​ul><​li>​ Bổ sung <b> </b> <i> S </i> được định nghĩa là <i> x </i> <i> S </i> <i> y </i> nếu không <i> x </i> <i> R </i> <i> y </i> . Ví dụ, trên số thực, ≤ là phần bù của&​gt;​. </​li></​ul><​p>​ Bổ sung nghịch đảo là nghịch đảo của phần bù.
 +</​p><​p>​ Nếu <i> X </i> = <i> Y </​i>​phần bổ sung có các thuộc tính sau:
 +</p>
 +<​ul><​li>​If a relation is symmetric, the complement is too.</​li>​
 +<​li>​The complement of a reflexive relation is irreflexive and vice versa.</​li>​
 +<​li>​The complement of a strict weak order is a total preorder and vice versa.</​li></​ul><​p>​The complement of the inverse has these same properties.
 +</p>
 +<​h3><​span class="​mw-headline"​ id="​Restriction">​Restriction</​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​[</​span>​edit<​span class="​mw-editsection-bracket">​]</​span></​span></​h3>​
 +<​p>​The restriction of a binary relation on a set <​i>​X</​i>​ to a subset <​i>​S</​i>​ is the set of all pairs (<​i>​x</​i><​i>​y</​i>​) in the relation for which <​i>​x</​i>​ and <​i>​y</​i>​ are in <​i>​S</​i>​.
 +</​p><​p>​If a relation is reflexive, irreflexive,​ symmetric, antisymmetric,​ asymmetric, transitive, total, trichotomous,​ a partial order, total order, strict weak order, total preorder (weak order), ​ or an equivalence relation, its restrictions are too.
 +</​p><​p>​However,​ the transitive closure of a restriction is a subset of the restriction of the transitive closure, i.e., in general not equal.
 +For example, restricting the relation &​quot;<​i>​x</​i>​ is parent of <​i>​y</​i>&​quot;​ to females yields the relation &​quot;<​i>​x</​i>​ is mother of the woman <​i>​y</​i>&​quot;;​ its transitive closure doesn&#​39;​t relate a woman with her paternal grandmother. On the other hand, the transitive closure of &​quot;​is parent of&​quot;​ is &​quot;​is ancestor of&​quot;;​ its restriction to females does relate a woman with her paternal grandmother.
 +</​p><​p>​Also,​ the various concepts of completeness (not to be confused with being &​quot;​total&​quot;​) do not carry over to restrictions. For example, on the set of real numbers a property of the relation &​quot;​≤&​quot;​ is that every non-empty subset <​i>​S</​i>​ of <​b>​R</​b>​ with an upper bound in <​b>​R</​b>​ has a least upper bound (also called supremum) in <​b>​R</​b>​. However, for a set of rational numbers this supremum is not necessarily rational, so the same property does not hold on the restriction of the relation &​quot;​≤&​quot;​ to the set of rational numbers.
 +</​p><​p>​The <​i>​left-restriction</​i>​ (<​i>​right-restriction</​i>​respectively) of a binary relation between <​i>​X</​i>​ and <​i>​Y</​i>​ to a subset <​i>​S</​i>​ of its domain (codomain) is the set of all pairs (<​i>​x</​i><​i>​y</​i>​) in the relation for which <​i>​x</​i>​ (<​i>​y</​i>​) is an element of <​i>​S</​i>​.
 +</p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Sets_versus_classes">​Sets versus classes</​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​[</​span>​edit<​span class="​mw-editsection-bracket">​]</​span></​span></​h2>​
 +<​p>​Certain mathematical &​quot;​relations&​quot;,​ such as &​quot;​equal to&​quot;,​ &​quot;​member of&​quot;,​ and &​quot;​subset of&​quot;,​ cannot be understood to be binary relations as defined above, because ​ their domains and codomains cannot be taken to be sets in the usual systems of axiomatic set theory. ​ For example, if we try to model the general concept of &​quot;​equality&​quot;​ as a binary relation =, we must take the domain and codomain to be the &​quot;​class of all sets&​quot;,​ which is not a set in the usual set theory.
 +</​p><​p>​In most mathematical contexts, references to the relations of equality, membership and subset are harmless because they can be understood implicitly to be restricted to some set in the context. ​ The usual work-around to this problem is to select a &​quot;​large enough&​quot;​ set <​i>​A</​i>​that contains all the objects of interest, and work with the restriction =<​sub><​i>​A</​i></​sub>​ instead of =.  Similarly, the &​quot;​subset of&​quot;​ relation ⊆ needs to be restricted to have domain and codomain <​i>​P</​i>​(<​i>​A</​i>​) (the  power set of a specific set <​i>​A</​i>​): ​ the resulting set relation can be denoted ⊆<​sub><​i>​A</​i></​sub>​. ​ Also, the &​quot;​member of&​quot;​ relation needs to be restricted to have domain <​i>​A</​i>​ and codomain <​i>​P</​i>​(<​i>​A</​i>​) to obtain a binary relation ∈<​sub><​i>​A</​i></​sub>​ that is a set. Bertrand Russell has shown that assuming ∈ to be defined on all sets leads to a contradiction in naive set theory.
 +</​p><​p>​Another solution to this problem is to use a set theory with proper classes, such as NBG or Morse–Kelley set theory, and allow the domain and codomain (and so the graph) to be proper classes: ​ in such a theory, equality, membership, and subset are binary relations without special comment. ​ (A minor modification needs to be made to the concept of the ordered triple (<​i>​X</​i><​i>​Y</​i><​i>​G</​i>​),​ as normally a proper class cannot be a member of an ordered tuple; or of course one can identify the function with its graph in this context.)<​sup id="​cite_ref-21"​ class="​reference">​[21]</​sup> ​  With this definition one can for instance define a function relation between every set and its power set.
 +</p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​The_number_of_binary_relations">​The number of binary relations</​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​[</​span>​edit<​span class="​mw-editsection-bracket">​]</​span></​span></​h2>​
 +<​p>​The number of distinct binary relations on an <​i>​n</​i>​-element set is 2<​sup><​i>​n</​i><​sup>​2</​sup></​sup>​ (sequence <span class="​nowrap">​A002416</​span>​ in the OEIS):
 +</p>
 +<​p>​Notes:​
 +</p>
 +<​ul><​li>​The number of irreflexive relations is the same as that of reflexive relations.</​li>​
 +<​li>​The number of strict partial orders (irreflexive transitive relations) is the same as that of partial orders.</​li>​
 +<​li>​The number of strict weak orders is the same as that of total preorders.</​li>​
 +<​li>​The total orders are the partial orders that are also total preorders. The number of preorders that are neither a partial order nor a total preorder is, therefore, the number of preorders, minus the number of partial orders, minus the number of total preorders, plus the number of total orders: 0, 0, 0, 3, and 85, respectively.</​li>​
 +<​li>​the number of equivalence relations is the number of partitions, which is the Bell number.</​li></​ul><​p>​The binary relations can be grouped into pairs (relation, complement),​ except that for <​i>​n</​i>​ = 0 the relation is its own complement. The non-symmetric ones can be grouped into quadruples (relation, complement, inverse, inverse complement).
 +</p>
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​Examples_of_common_binary_relations">​Examples of common binary relations</​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​[</​span>​edit<​span class="​mw-editsection-bracket">​]</​span></​span></​h2>​
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​See_also">​See also</​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​[</​span>​edit<​span class="​mw-editsection-bracket">​]</​span></​span></​h2>​
 +
 +
 +<div class="​reflist"​ style="​list-style-type:​ decimal;">​
 +<div class="​mw-references-wrap mw-references-columns"><​ol class="​references"><​li id="​cite_note-1"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite class="​citation book"><​i>​Encyclopedic dictionary of Mathematics</​i>​. MIT. 2000. pp. 1330–1331. ISBN 0-262-59020-4.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Encyclopedic+dictionary+of+Mathematics&​rft.pages=1330-1331&​rft.pub=MIT&​rft.date=2000&​rft.isbn=0-262-59020-4&​rft_id=https%3A%2F%2Fbooks.google.co.uk%2Fbooks%3Fid%3DazS2ktxrz3EC%26pg%3DPA1331%26hl%3Den%26sa%3DX%26ei%3Dglo6T_PmC9Ow8QPvwYmFCw%26ved%3D0CGIQ6AEwBg%23v%3Donepage%26f%3Dfalse&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-suppes-2"><​span class="​mw-cite-backlink">​^ <​sup><​i><​b>​a</​b></​i></​sup>​ <​sup><​i><​b>​b</​b></​i></​sup></​span>​ <span class="​reference-text">​
 +<cite class="​citation book">​Suppes,​ Patrick (1972) [originally published by D. van Nostrand Company in 1960]. <​i>​Axiomatic Set Theory</​i>​. Dover. ISBN 0-486-61630-4.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Axiomatic+Set+Theory&​rft.pub=Dover&​rft.date=1972&​rft.isbn=0-486-61630-4&​rft.aulast=Suppes&​rft.aufirst=Patrick&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-smullyan-3"><​span class="​mw-cite-backlink">​^ <​sup><​i><​b>​a</​b></​i></​sup>​ <​sup><​i><​b>​b</​b></​i></​sup></​span>​ <span class="​reference-text">​
 +<cite class="​citation book">​Smullyan,​ Raymond M.; Fitting, Melvin (2010) [revised and corrected republication of the work originally published in 1996 by Oxford University Press, New York]. <​i>​Set Theory and the Continuum Problem</​i>​. Dover. ISBN 978-0-486-47484-7.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Set+Theory+and+the+Continuum+Problem&​rft.pub=Dover&​rft.date=2010&​rft.isbn=978-0-486-47484-7&​rft.aulast=Smullyan&​rft.aufirst=Raymond+M.&​rft.au=Fitting%2C+Melvin&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-levy-4"><​span class="​mw-cite-backlink">​^ <​sup><​i><​b>​a</​b></​i></​sup>​ <​sup><​i><​b>​b</​b></​i></​sup></​span>​ <span class="​reference-text">​
 +<cite class="​citation book">​Levy,​ Azriel (2002) [republication of the work published by Springer-Verlag,​ Berlin, Heidelberg and New York in 1979]. <​i>​Basic Set Theory</​i>​. Dover. ISBN 0-486-42079-5.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Basic+Set+Theory&​rft.pub=Dover&​rft.date=2002&​rft.isbn=0-486-42079-5&​rft.aulast=Levy&​rft.aufirst=Azriel&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-5"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite class="​citation web">​Megill,​ Norman (5 August 1993). &​quot;​df-br (Metamath Proof Explorer)&​quot;<​span class="​reference-accessdate">​. Retrieved <span class="​nowrap">​18 November</​span>​ 2016</​span>​.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=unknown&​rft.btitle=df-br+%28Metamath+Proof+Explorer%29&​rft.date=1993-08-05&​rft.aulast=Megill&​rft.aufirst=Norman&​rft_id=http%3A%2F%2Fus.metamath.org%2Fmpegif%2Fdf-br.html&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-FloudasPardalos2008-6"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite class="​citation book">​Christodoulos A. Floudas; Panos M. Pardalos (2008). <​i>​Encyclopedia of Optimization</​i>​ (2nd ed.). Springer Science &amp; Business Media. pp. 299–300. ISBN 978-0-387-74758-3.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Encyclopedia+of+Optimization&​rft.pages=299-300&​rft.edition=2nd&​rft.pub=Springer+Science+%26+Business+Media&​rft.date=2008&​rft.isbn=978-0-387-74758-3&​rft.au=Christodoulos+A.+Floudas&​rft.au=Panos+M.+Pardalos&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-Winter2007-7"><​span class="​mw-cite-backlink">​^ <​sup><​i><​b>​a</​b></​i></​sup>​ <​sup><​i><​b>​b</​b></​i></​sup></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite class="​citation book">​Michael Winter (2007). <​i>​Goguen Categories: A Categorical Approach to L-fuzzy Relations</​i>​. Springer. pp. x–xi. ISBN 978-1-4020-6164-6.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Goguen+Categories%3A+A+Categorical+Approach+to+L-fuzzy+Relations&​rft.pages=x-xi&​rft.pub=Springer&​rft.date=2007&​rft.isbn=978-1-4020-6164-6&​rft.au=Michael+Winter&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-kkm-8"><​span class="​mw-cite-backlink">​^ <​sup><​i><​b>​a</​b></​i></​sup>​ <​sup><​i><​b>​b</​b></​i></​sup>​ <​sup><​i><​b>​c</​b></​i></​sup>​ <​sup><​i><​b>​d</​b></​i></​sup></​span>​ <span class="​reference-text">​Kilp,​ Knauer and Mikhalev: p. 3. The same four definitions appear in the following:
 +<​ul><​li><​cite class="​citation book">​Peter J. Pahl; Rudolf Damrath (2001). <​i>​Mathematical Foundations of Computational Engineering:​ A Handbook</​i>​. Springer Science &amp; Business Media. p. 506. ISBN 978-3-540-67995-0.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Mathematical+Foundations+of+Computational+Engineering%3A+A+Handbook&​rft.pages=506&​rft.pub=Springer+Science+%26+Business+Media&​rft.date=2001&​rft.isbn=978-3-540-67995-0&​rft.au=Peter+J.+Pahl&​rft.au=Rudolf+Damrath&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​li>​
 +<​li><​cite class="​citation book">​Eike Best (1996). <​i>​Semantics of Sequential and Parallel Programs</​i>​. Prentice Hall. pp. 19–21. ISBN 978-0-13-460643-9.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Semantics+of+Sequential+and+Parallel+Programs&​rft.pages=19-21&​rft.pub=Prentice+Hall&​rft.date=1996&​rft.isbn=978-0-13-460643-9&​rft.au=Eike+Best&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​li>​
 +<​li><​cite class="​citation book">​Robert-Christoph Riemann (1999). <​i>​Modelling of Concurrent Systems: Structural and Semantical Methods in the High Level Petri Net Calculus</​i>​. Herbert Utz Verlag. tr. 21–22. ISBN 978-3-89675-629-9.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Modelling+of+Concurrent+Systems%3A+Structural+and+Semantical+Methods+in+the+High+Level+Petri+Net+Calculus&​rft.pages=21-22&​rft.pub=Herbert+Utz+Verlag&​rft.date=1999&​rft.isbn=978-3-89675-629-9&​rft.au=Robert-Christoph+Riemann&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​li></​ul></​span></​li>​
 +<li id="​cite_note-gs-9"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​Gunther Schmidt, 2010. <​i>​Relational Mathematics</​i>​. Cambridge University Press, <link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/>​ISBN 978-0-521-76268-7,​ Chapt. 5</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-10"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite id="​CITEREFMäs2007"​ class="​citation">​Mäs,​ Stephan (2007), &​quot;​Reasoning on Spatial Semantic Integrity Constraints&​quot;,​ <​i>​Spatial Information Theory: 8th International Conference, COSIT 2007, Melbourne, Australia, September 19–23, 2007, Proceedings</​i>​Lecture Notes in Computer Science, <​b>​4736</​b>​Springer,​ pp. 285–302,​ doi:​10.1007/​978-3-540-74788-8_18</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=bookitem&​rft.atitle=Reasoning+on+Spatial+Semantic+Integrity+Constraints&​rft.btitle=Spatial+Information+Theory%3A+8th+International+Conference%2C+COSIT+2007%2C+Melbourne%2C+Australia%2C+September+19%E2%80%9323%2C+2007%2C+Proceedings&​rft.series=Lecture+Notes+in+Computer+Science&​rft.pages=285-302&​rft.pub=Springer&​rft.date=2007&​rft_id=info%3Adoi%2F10.1007%2F978-3-540-74788-8_18&​rft.aulast=M%C3%A4s&​rft.aufirst=Stephan&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-11"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​Note that the use of &​quot;​correspondence&​quot;​ here is narrower than as general synonym for binary relation.</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-Müller2012-12"><​span class="​mw-cite-backlink">​^ <​sup><​i><​b>​a</​b></​i></​sup>​ <​sup><​i><​b>​b</​b></​i></​sup></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite class="​citation book">​M. E. Müller (2012). <​i>​Relational Knowledge Discovery</​i>​. Nhà in Đại học Cambridge. p. 22. ISBN 978-0-521-19021-3.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Relational+Knowledge+Discovery&​rft.pages=22&​rft.pub=Cambridge+University+Press&​rft.date=2012&​rft.isbn=978-0-521-19021-3&​rft.au=M.+E.+M%C3%BCller&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-PahlDamrath2001-p496-13"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite class="​citation book">​Peter J. Pahl; Rudolf Damrath (2001). <​i>​Mathematical Foundations of Computational Engineering:​ A Handbook</​i>​. Springer Science &amp; Business Media. p. 496. ISBN 978-3-540-67995-0.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Mathematical+Foundations+of+Computational+Engineering%3A+A+Handbook&​rft.pages=496&​rft.pub=Springer+Science+%26+Business+Media&​rft.date=2001&​rft.isbn=978-3-540-67995-0&​rft.au=Peter+J.+Pahl&​rft.au=Rudolf+Damrath&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-14"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​Fonseca de Oliveira, J. N., &amp; Pereira Cunha Rodrigues, C. D. J. (2004). Transposing Relations: From Maybe Functions to Hash Tables. In Mathematics of Program Construction (p. 337).</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-15"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite id="​CITEREFSmithEggenSt._Andre2006"​ class="​citation">​Smith,​ Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2006), <i>A Transition to Advanced Mathematics</​i>​ (6th ed.), Brooks/​Cole,​ p. 160, ISBN 0-534-39900-2</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=A+Transition+to+Advanced+Mathematics&​rft.pages=160&​rft.edition=6th&​rft.pub=Brooks%2FCole&​rft.date=2006&​rft.isbn=0-534-39900-2&​rft.aulast=Smith&​rft.aufirst=Douglas&​rft.au=Eggen%2C+Maurice&​rft.au=St.+Andre%2C+Richard&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-16"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite id="​CITEREFNievergelt2002"​ class="​citation">​Nievergelt,​ Yves (2002), <​i>​Foundations of Logic and Mathematics:​ Applications to Computer Science and Cryptography</​i>​Springer-Verlag,​ p. 158</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Foundations+of+Logic+and+Mathematics%3A+Applications+to+Computer+Science+and+Cryptography&​rft.pages=158&​rft.pub=Springer-Verlag&​rft.date=2002&​rft.aulast=Nievergelt&​rft.aufirst=Yves&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/>​.</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-17"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite class="​citation book">​Flaška,​ V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen,​ J. (2007). <​i>​Transitive Closures of Binary Relations I</i> <span class="​cs1-format">​(PDF)</​span>​. Prague: School of Mathematics – Physics Charles University. p. 1. Archived from the original <span class="​cs1-format">​(PDF)</​span>​ on 2013-11-02.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=Transitive+Closures+of+Binary+Relations+I&​rft.place=Prague&​rft.pages=1&​rft.pub=School+of+Mathematics+%E2%80%93+Physics+Charles+University&​rft.date=2007&​rft.aulast=Fla%C5%A1ka&​rft.aufirst=V.&​rft.au=Je%C5%BEek%2C+J.&​rft.au=Kepka%2C+T.&​rft.au=Kortelainen%2C+J.&​rft_id=http%3A%2F%2Fwww.karlin.mff.cuni.cz%2F~jezek%2F120%2Ftransitive1.pdf&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/>​ Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as &​quot;​strictly antisymmetric&​quot;​.</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-18"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​Since neither 5 divides 3, nor 3 divides 5, nor 3=5.</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-19"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite class="​citation journal">​Yao,​ Y.Y.; Wong, S.K.M. (1995). &​quot;​Generalization of rough sets using relationships between attribute values&​quot;​ <span class="​cs1-format">​(PDF)</​span>​. <​i>​Proceedings of the 2nd Annual Joint Conference on Information Sciences</​i>:​ 30–33.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&​rft.genre=article&​rft.jtitle=Proceedings+of+the+2nd+Annual+Joint+Conference+on+Information+Sciences&​rft.atitle=Generalization+of+rough+sets+using+relationships+between+attribute+values&​rft.pages=30-33&​rft.date=1995&​rft.aulast=Yao&​rft.aufirst=Y.Y.&​rft.au=Wong%2C+S.K.M.&​rft_id=http%3A%2F%2Fwww2.cs.uregina.ca%2F~yyao%2FPAPERS%2Frelation.pdf&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/>​.</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-20"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text">​Joseph G. Rosenstein, <​i>​Linear orderings</​i>​Academic Press, 1982, <link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/>​ISBN 0-12-597680-1,​ p. 4</​span>​
 +</li>
 +<li id="​cite_note-21"><​span class="​mw-cite-backlink"><​b>​^</​b></​span>​ <span class="​reference-text"><​cite class="​citation book">​Tarski,​ Alfred; Givant, Steven (1987). <i>A formalization of set theory without variables</​i>​. American Toán học Xã hội. p. 3. ISBN 0-8218-1041-3.</​cite><​span title="​ctx_ver=Z39.88-2004&​rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&​rft.genre=book&​rft.btitle=A+formalization+of+set+theory+without+variables&​rft.pages=3&​rft.pub=American+Mathematical+Society&​rft.date=1987&​rft.isbn=0-8218-1041-3&​rft.aulast=Tarski&​rft.aufirst=Alfred&​rft.au=Givant%2C+Steven&​rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3ABinary+relation"​ class="​Z3988"/><​link rel="​mw-deduplicated-inline-style"​ href="​mw-data:​TemplateStyles:​r861714446"/></​span>​
 +</li>
 +</​ol></​div></​div>​
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​References">​References</​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​[</​span>​edit<​span class="​mw-editsection-bracket">​]</​span></​span></​h2>​
 +<​h2><​span class="​mw-headline"​ id="​External_links">​External links</​span><​span class="​mw-editsection"><​span class="​mw-editsection-bracket">​[</​span>​edit<​span class="​mw-editsection-bracket">​]</​span></​span></​h2>​
 +<​!-- ​
 +NewPP limit report
 +Parsed by mw1242
 +Cached time: 20181114231409
 +Cache expiry: 1900800
 +Dynamic content: false
 +CPU time usage: 0.540 seconds
 +Real time usage: 0.870 seconds
 +Preprocessor visited node count: 2448/​1000000
 +Preprocessor generated node count: 0/1500000
 +Post‐expand include size: 46405/​2097152 bytes
 +Template argument size: 2310/​2097152 bytes
 +Highest expansion depth: 13/40
 +Expensive parser function count: 2/500
 +Unstrip recursion depth: 1/20
 +Unstrip post‐expand size: 58880/​5000000 bytes
 +Number of Wikibase entities loaded: 2/400
 +Lua time usage: 0.218/​10.000 seconds
 +Lua memory usage: 4.78 MB/50 MB
 +--><​!--
 +Transclusion expansion time report (%,​ms,​calls,​template)
 +100.00% ​ 498.877 ​     1 -total
 + ​63.98% ​ 319.205 ​     1 Template:​Reflist
 + ​29.08% ​ 145.078 ​    13 Template:​Cite_book
 + ​14.55% ​  ​72.571 ​     4 Template:​Citation
 + ​11.12% ​  ​55.466 ​     4 Template:​ISBN
 +  7.09%   ​35.395 ​     1 Template:​Redirect
 +  4.54%   ​22.643 ​     1 Template:​Misleading
 +  4.42%   ​22.062 ​     4 Template:​Catalog_lookup_link
 +  3.91%   ​19.490 ​     1 Template:​Cite_web
 +  3.46%   ​17.274 ​     1 Template:​Commonscatinline
 +--><​!-- Saved in parser cache with key enwiki:​pcache:​idhash:​3931-0!canonical!math=5 and timestamp 20181114231408 and revision id 858543813
 + ​--></​div></​pre>​
 +<br>
 + </​HTML>​
m-i-quan-h-nh-ph-n-wikipedia.txt · Last modified: 2018/11/23 17:13 (external edit)